Question

已知函數f（x）=lnx++ax，x∈（0，+∞） （a為實常數）．
（1）當a=0時，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在[2，+∞）上是單調函數，求a的取值范圍；
（3）設各項為正的無窮數列{x_n}滿足lnx_n+＜1（n∈N^*），證明：x_n≤1（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）a=0時，f′（x）=則當0＜x＜1時f′（x）＜0，當x＞1時f′（x）＞0可求解；
（2）由f′（x）=分a≥0和a＜0兩種情況討論
（3）用反證法，假設x₁=b＞1，由（2）已得到，再遞推得從而有
∴，得出矛盾．
解答：解（1）a=0時，f′（x）=
當0＜x＜1時f′（x）＜0，當x＞1時f′（x）＞0，
∴f（x）_min=1
（2）f′（x）=
當a≥0時，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求；
當a＜0時，令g（x）=ax²+x-1，g（x）在[2，+∞）上只能恒小于零
故△=1+4a≤0或，解得：a≤
∴a的取值范圍是（-∞，]∪[0，+∞）

（3）反證法：假設x₁=b＞1，由（1）知，
∴ln+≥1＞lnx_n+，∴＞lnb+，（n∈N^*），
∴故=，即＜1，即lnb＜，①
又由（1）當b＞1時，∴，與①矛盾，故b≤1，即x₁≤1，
同理可證x₂≤1，x₃≤1，…，x_n≤1（n∈N^*）
點評：本題主要考查用導數法求閉區間上的最值，求參數的范圍以及用反證法證明不等式問題，綜合性較強要理清思路．