Question

設函數f（x）=ax²+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=-x，均不相交，試證明對一切x都有|b²-4ac|＞1．

Answer 1

證明：因為x∈R，故|f（x）|的最小值若存在，則最小值由頂點確定
故可設f（x）=a（x-x₀）²+f（x₀）．
由題意知，a≠0．設f（x）=a（x-x₀）²+f（x₀）
又二次方程ax²+bx+c=±x無實根，故
△₁=（b+1）²-4ac＜0，
△₂=（b-1）²-4ac＜0．
∴（b+1）²+（b-1）²-8ac＜0
即2b²+2-8ac＜0，即b²-4ac＜-1
所以|b²-4ac|＞1．
分析：拋物線與直線不相交，轉化為二次方程沒有實數根，利用△＜0并化簡變形即可．
點評：本題考查二次函數的恒成立問題，關鍵是利用圖象沒有交點轉化為方程沒有實數根，屬于基礎題．