Question

如圖，已知橢圓（a> b>0）和圓O：x²+y²=b²，過橢圓上一點P引圓O的兩條切線，切點分別為A、B。

（1）①若圓O過橢圓的兩個焦點，求橢圓的離心率e；
②若橢圓上存在點P，使得∠APB=90°，求橢圓離心率e 的取值范圍；
（2）設直線AB與x軸、y軸分別交于點M、N，求證：為定值。

Answer 1

解：（1）①∵圓O過橢圓的焦點，圓O：x²+y²=b²，
∴b=c，
∴b²=a²-c²=c²，
∴a²=2c²，
∴；
②由∠APB=90°及圓的性質，知四邊形OBPA為正方形，可得

∴|OP|²=2b²≤a²，
∴a²≤2c²
∴，。
（2）設P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則切線PA方程為：x₁x+y₁y=b²，PB方程為：x₂x+y₂y=b²
∴x₁x+y₁y=x₂x+y₂y，
∴
直線AB方程為：
即x₀x+y₀y=b²
令x=0，得
令y=0得
∴
∴為定值，定值是。