Question

數列a_n中，a₁=-3，a_n=2a_n-1+2ⁿ+3（n≥2且n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）設，證明{b_{n ^}}是等差數列；
（3）求數列{a_n^}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由數列的遞推公式求指定項，令n=2，3代入即可；
（2）由a_n=2a_n-1+2ⁿ+3及，只要驗證b_n-b_n-1是個常數即可；
（3）根據（2）證明可以求得b_n，進而求得a_n，從而求得s_n．
解答：解：（1）a₂=2a₁+2+3=1，a₃=2a₂²+2³+3=13
（2）．
∴數列{b_{n ^}}是公差為1的等差數列．

（3）由（2）得，∴a_n=（n-1）•2ⁿ-3（n∈N^*）
∴s_n=0×2¹+1×2²+…+（n-1）2ⁿ-3n
令T_n=0×2¹+1×2²+…+（n-1）2ⁿ
則2T_n=0×2²+1×2³+…+（n-2）2ⁿ+（n-1）2ⁿ⁺¹
兩式相減得：-T_n=2²+2³+…+2ⁿ-（n-1）•2ⁿ⁺¹
==（2-n）•2ⁿ⁺¹-4
∴T_n=（n-2）•2ⁿ⁺¹+4
∴s_n=（n-2）2ⁿ⁺¹-3n+4．
點評：考查數列的基本運算，和等差數列的證明方法，錯位相減法求和問題，很好，屬中檔題．