Question

已知函數f（x）=mx³+（ax-1）（x-2）（x∈R）的圖象在x=1處的切線與直線x+y=0平行．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）當a≥0時，解關于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析：（I）先對函數f（x）進行求導，又根據f'（1）=3m-1，可得到關于m的值；
（II）由（I）知f （x）=（ax-1）（x-2）．下面對字母a的取值情況進行分類討論：當a=0時，f （x）=-（x-2）＞0，當a＞0時，再分：若

1

a

＜2；若

1

a

=2；若

1

a

＞2，分別求出原不等式的解集即可．

解答：解：（I）∵f （x）=mx³+ax²-（2a+1）x+2，∴f′（x）=3mx²+2ax-（2a+1）．
∴f'（1）=3m-1，
即函數f （x）的圖象在x=1處的切線斜率為3m-1．
∴由題知3m-1=-1，解得m=0．…（5分）
（II）由（I）知f （x）=（ax-1）（x-2）．
當a=0時，f （x）=-（x-2）＞0，解得x＜2．…（7分）
當a＞0時，方程f （x）=0的兩根為x₂=

1

a

，x₂=2．
若

1

a

＜2即a＞

1

2

時，原不等式的解為

1

a

＜x＜2；…（9分）
若

1

a

=2即a=

1

2

時，原不等式的解為∅；…（10分）
若

1

a

＞2即a＜

1

2

時，原不等式的解為2＜x＜

1

a

．…（11分）
∴綜上所述，當a=0時，原不等式的解集為{x|x＜2}；
當0＜a＜

1

2

時，原不等式的解集為{x|

1

a

＜x＜2}；當a=

1

2

時，原不等式的解集為∅；
當a＞

1

2

時，原不等式的解集為{x|2＜x＜

1

a

}．…（12分）

點評：本題主要考查一元二次不等式的解法的問題、利用導數研究曲線上某點切線方程，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．