Question

已知函數f(x)=2sinxcosx-

3

cos2x+1（x∈R）．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）在區間x∈[

π

4

，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）將函數f（x）解析式第一項利用二倍角的正弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數的最小正周期；
（II）由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數的圖象與性質求出此時正弦函數的值域，即可確定出函數的最大值與最小值．

解答：解：（I）f（x）=sin2x-

3

cos2x+1=2sin（2x-

π

3

）+1，
∵ω=2，∴T=π；
（II）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）∈[

1

2

，1]，即2sin（2x-

π

3

）+1∈[2，3]，
則函數f（x）的最大值為3，最小值為2．

點評：此題考查了二倍角的正弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．