Question

（本小題滿分14分）
已知向量、、兩兩所成的角相等，并且||＝1，||＝2，||＝3．
（Ⅰ）求向量＋＋的長度；
（Ⅱ）求＋＋與的夾角．

Answer 1

（Ⅰ）|＋＋|＝．（Ⅱ） ．

試題分析：（Ⅰ）設向量、、兩兩所成的角均為，則＝0或＝， 又||＝1，||＝2，||＝3．則當＝0時，·＝||·||＝2，·＝||·||＝6，·＝||·||＝3，此時 |＋＋|²＝²＋²＋²＋2·＋2·＋2·＝14＋22＝36，∴ |＋＋|＝6；
當＝時，·＝||·||＝－1，·＝||·||＝－3，·＝||·||＝－，此時 |＋＋|²＝²＋²＋²＋2·＋2·＋2·＝14－11＝3，∴ |＋＋|＝．
（Ⅱ）當＝0，即|＋＋|＝6時，＋＋與的夾角顯然為0； 當＝，即|＋＋|＝時，∵ （＋＋）·＝－，且|＋＋|·||＝， <＋＋，>＝－，∴＋＋與的夾角為．
點評：熟練運用向量的運算及數量積的概念是解決此類求模和夾角的常用方法