Question

已知函數在點處取得極值。

（1）求實數a的值；

（2）若關于x的方程在區間[0，2]上有兩個不等實根，求b的取值范圍；

（3）證明：對于任意的正整數，不等式。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

由題意，     解得            ………………………………分

（Ⅱ）構造函數，則

令   得 

又知

∴ 當時，函數單調遞增，當函數單調遞減

方程在區間上有兩個不同的實根，等價于函數在上有兩個不同的零點，則只需

即

∴ 所求實數的取值范圍是        …………………6分

（Ⅲ）構造函數，

則 

令    解得   …………分

當    時 ，是增函數

當   時 ，是減函數     ……………………………分

∴ 

∴ 

當時，有 

取  ，得 

即  ．

【解析】略