Question

如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB=，CE=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明平面BDE外的直線AF平行平面BDE內的直線GE，即可證明AF∥平面BDE；
（Ⅱ）證明CF垂直平面BDF內的兩條相交直線：BD、EG，即可證明求CF⊥平面BDF；
解答：證明：（Ⅰ）設AC于BD交于點G．
因為EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，
所以四邊形AGEF為平行四邊形，
所以AF∥EG，
因為EG?平面BDE，AF?平面BDE，
所以AF∥平面BDE．
（Ⅱ）連接FG．因為EF∥CG，EF=CG=1，
且CE=1，所以平行四邊形CEFG為菱形．所以CF⊥EG．
因為四邊形ABCD為正方形，所以BD⊥AC．
又因為平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，
所以BD⊥平面ACEF．
所以CF⊥BD．又BD∩EG=G，
所以CF⊥平面BDE．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．