Question

已知集合A={2，log₂t}，集合B={x|x²-14x+24≤0}，x，t∈R，且A⊆B．
（1）對于區間[a，b]，定義此區間的“長度”為b-a，若A的區間“長度”為3，試求t的值．
（2）某個函數f（x）的值域是B，且f（x）∈A的概率不小于0.6，試確定t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用區間長度的定義，求t．
（2）利用概率公式求t的范圍．

解答：解：（1）∵A的區間“長度”為3，
∴log₂t-2=3，即log₂t=5，t=32．
（2）由x²-14x+24≤0，得2≤x≤12，∴B=[2，12]
∴B的區間長度為10，設A的區間“長度”為x，因f（x）∈A的概率不小于0.6，所以

x

10

≥0.6，
∴x≥6，即log₂t-2≥6，解得t≥2⁸=256．
又A⊆B，∴log₂t≤12，即t≤2¹²=4096，
所以t的取值范圍為[256，4096]（或[2⁸，2¹²]）

點評：本題主要考查區間長度的定義以及應用，正確利用區間長度的應用是解決本題的關鍵．