Question

判斷下列函數的奇偶性：
（Ⅰ）f（x）=x⁵+5x；

奇函數

（Ⅱ）f（x）=x⁴+2x²-1；

偶函數

（Ⅲ）y=

x2-1

+

1-x2

；

即是奇函數又是偶函數

（Ⅳ）f（x）=2x²-1，x∈[-2，3]．

非奇非偶函數

．

Answer 1

分析：（I）先判斷f（x）=x⁵+5x的定義域是否關于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關系，根據奇函數的定義可得結論；
（II）先判斷f（x）=x⁴+2x²-1的定義域是否關于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關系，根據偶函數的定義可得結論；
（III）先判斷y=

x2-1

+

1-x2

的定義域是否關于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關系，根據奇函數和偶函數的定義可得結論；
（IV）根據f（x）=2x²-1，x∈[-2，3]的定義域不關于原點對稱，可得結論；

解答：解：（Ⅰ）f（x）=x⁵+5x的定義域R關于原點對稱
且f（x）=-x⁵-5x=-f（x）
故f（x）=x⁵+5x為奇函數
（Ⅱ）f（x）=x⁴+2x²-1的定義域R關于原點對稱；
且f（-x）=x⁴+2x²-1=f（x）
故函數f（x）=x⁴+2x²-1為偶函數
（Ⅲ）y=

x2-1

+

1-x2

的定義域{-1，1}關于原點對稱；
且f（-1）=f（1）=0
即f（-x）=f（x）且f（-x）=-f（x）
故函數y=

x2-1

+

1-x2

即是奇函數又是偶函數
（Ⅳ）f（x）=2x²-1，x∈[-2，3]的定義域不關于原點對稱；
故函數f（x）=2x²-1，x∈[-2，3]是非奇非偶函數
故答案為：奇函數，偶函數，即是奇函數又是偶函數，非奇非偶函數

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性的判斷，熟練掌握函數奇偶性的判斷方法是解答的關鍵．