Question

（2007•普陀區(qū)一模）已知偶函數(shù)y=f（x），當x＞0時，f（x）=（x-1）²，若當x∈[-2，-

1

2

]時，不等式n≤f（x）≤m恒成立，則m-n的最小值是

1

．

Answer 1

分析：先設(shè)x∈[-2，-

1

2

]則

1

2

≤x≤2由x＞0時，f（x）=（x-1）²，可得f（-x）=（-x-1）²=（x+1）²，結(jié)合f（x）為偶函數(shù)可
求f（x），x∈[-2，-

1

2

]，n≤f（x）≤m恒成立，即n，m分布為函數(shù)的最小值與最大值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：設(shè)x∈[-2，-

1

2

]則

1

2

≤x≤2
當x＞0時，f（x）=（x-1）²，
∴f（-x）=（-x-1）²=（x+1）²
由f（x）為偶函數(shù)可得，f（-x）=f（x）
∴f（x）=（x+1）²，x∈[-2，-

1

2

]
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，此時f（x）_max=f（-2）=1，f（x）_min=f（0）
∵n≤f（x）≤m恒成立，
n=0，m=1，m-n=1
故答案為：1

點評：本題主要考查了利用偶函數(shù)定義f（-x）=f（x）求解函數(shù)的解析式，函數(shù)恒成立與函數(shù)最值的相互轉(zhuǎn)化，二次函數(shù)性質(zhì)的應用，屬于知識的綜合應用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并能靈活利用函數(shù)的性質(zhì)