Question

有如下結(jié)論：“圓x²+y²=r²上一點(diǎn)P（x，y）處的切線方程為xy+yy=r²”，類比也有結(jié)論：“橢圓處的切線方程為”，過(guò)橢圓C：的右準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B．
（1）求證：直線AB恒過(guò)一定點(diǎn)；
（2）當(dāng)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求△ABM的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出M的坐標(biāo)，及2個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，由橢圓方程寫(xiě)出切線方程，把M的坐標(biāo)代入切線方程，得到2個(gè)切點(diǎn)所在的直線方程，把右焦點(diǎn)坐標(biāo)代入檢驗(yàn)．
（2）把AB的方程代入橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，求出2根之和、2根之積，用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)|AB|，再求出M 到AB的距離d，計(jì)算面積．
解答：解：
（1）設(shè)M
∵點(diǎn)M在MA上∴，同理可得②（3分）
由①②知AB的方程為（4分）
易知右焦點(diǎn)F（）滿足③式，（5分）
故AB恒過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F（）（6分）
（2）把AB的方程 x=（1-y）代入橢圓化簡(jiǎn)得，7y²-6y-1=0，
y₁+y₂=，y₁•y₂=-
∴|AB|=•|y₁-y₂|=•=，
又M 到AB的距離d==，
△ABM的面積 S=•|AB|•d=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線過(guò)定點(diǎn)、弦長(zhǎng)公式、及點(diǎn)到直線的距離公式．