Question

命題P：方程

x2

k-2

+

y2

k-1

=1表示雙曲線，命題q：不等式x²-2x+k²-1＞0對一切實數x恒成立．
（1）求命題P中雙曲線的焦點坐標；
（2）若命題“p且q”為真命題，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接利用雙曲線方程為

x2

k-2

+

y2

k-1

=1，可得a²=k-1，b²=k-2以及焦點在y軸上；再利用a，b，c之間的關系求出c即可求出結論．
（2）命題p為真命題，得方程

x2

k-2

+

y2

k-1

=1表示雙曲線，說明x²的分母與y²的分母的積為負數．聯列不等式組，解之即得實數k的取值范圍；再利用根的判別式找出命題q真時，實數k的取值范圍，再由p∧q為真命題，說明“p真q真”成立，可得實數k的取值范圍．

解答：解：（1）因為k-1＞k-2，所以a²=k-1，b²=k-2…（2分）
所以c²=1，且焦點在y軸上，…（4分）
所以雙曲線的焦點坐標為（0，±1）．…（6分）
（2）命題p：（k-2）（k-1）＜0，1＜k＜2；         …（8分）
命題q：△=4-4（k²-1）＜0，k＜-

2

或k＞

2

．…（10分）
因為命題“p且q”為真命題，所以

1＜k＜2 k＜- 2 或k＞ 2

即

2

＜k＜2．…（14分）
（注：若第（1）問分類討論答案對也算對）

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了雙曲線的標準方程和一元二次不等式的解集等知識點，屬于基礎題．