Question

已知f（x）=x²+bx+c為偶函數，曲線y=f（x）過點（2，5），g（x）=（x+m）f（x）．若曲線y=g（x）有斜率為0的切線，則實數m的取值范圍為

（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞），

．

Answer 1

分析：據偶函數的定義f（-x）=f（x）求出b值，將點（2，5）代入得c值，據導數在切點處的導數值為切線斜率，由g′（x）=0有實數解，由△≥0求得m得范圍．

解答：解：已知f（x）=x²+bx+c為偶函數，故有f（-x）=f（x）恒成立，即x² -bx+c=x²+bx+c 恒成立，故有b=0，f（x）=x²+c．
又曲線y=f（x）過點（2，5），得2²+c=5，有c=1．
∵g（x）=（x+m）f（x）=x³+mx²+x+m，從而g′（x）=3x²+2mx+1，
∵曲線y=g（x）有斜率為0的切線，故有g′（x）=0有實數解．即3x²+2mx+1=0有實數解．
此時，有△=4m²-12≥0解得 m∈（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞），
故答案為 （-∞，-

3

]∪[

3

，+∞），

點評：本題考查偶函數的定義；利用導數幾何意義求曲線切線方程；利用導數求函數單調區間，屬于中檔題．