Question

已知函數f（x）=ln（1+x²）+（m-2）x（m≤2）
（1）若f（x）在x=0處取得極值，求m的值；
（2）討論f（x）的單調性；
（3）記a_n=ln（1+

1

32n

），且數列{a_n}前n項和為S_n，求證：S_n＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）利用f′（0）=0，解得m，再驗證即可；
（2））f′(x)=

(m-2)x2+2x+(m-2)

1+x2

．△=4（m-1）（3-m）．分以下幾種情況討論：
   ①若m=2時，②若 

m＜2 △≤0

時，當m≤1時，③若1＜m＜2時，
（3）由（2）知，m=1時，f（x）在R上單調遞減．當x∈（0，+∞），由f（x）＜f（0）=0．可得ln（1+x²）＜x，對x取值，再利用等比數列的前n項和公式即可得出．

解答：解：（1）f′（x）=

2x

1+x2

+m-2，
∵x=0是f（x）的一個極值點，∴f′（0）=0，解得m=2，
驗證知m=2符合條件．
（2）∵f′(x)=

(m-2)x2+2x+(m-2)

1+x2

．△=4（m-1）（3-m）．
   ①若m=2時，f′(x)=

2x

1+x2

．
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，在（-∞，0）單調遞減；
②若 

m＜2 △≤0

時，
當m≤1時，f′（x）≤0，
∴f（x）在R上單調遞減．               
③若1＜m＜2時，f′（x）=0有兩根，x1=

-1- △

m-2

，x2=

-1+ △

m-2

．
∴f（x）在（x₁，x₂）上單調減；在（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上單調增．
綜上所述，若m≤1時，f（x）在R上單調遞減；
若m=2時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，在（-∞，0）單調遞減；
若1＜m＜2時，f（x）在（x₁，x₂）上單調減；在（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上單調增．
（3）由（2）知，m=1時，∴f（x）在R上單調遞減．
當x∈（0，+∞），由f（x）＜f（0）=0．
∴ln（1+x²）＜x，
∴S_n=ln(1+

1

32

)+ln(1+

1

34

)+…+ln(1+

1

32n

)＜

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

(1-

1

3n

)＜

1

2

．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性與極值、分類討論的思想方法、等比數列的前n項和公式等是解題的關鍵．