Question

已知P是圓F₁：（x+1）²+y²=16上的動點，點F₂（1，0），線段PF₂的垂直平分線l與半徑F₁P交于點Q．
（I）當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡C的方程．
（II）已知點M（1，），A、B在（1）中所求的曲線C上，且（λ∈R，O是坐標原點），
（i）求直線AB的斜率；
（ii）求證：當△MAB的面積取得最大值時，O是△MAB的重心．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據圓M的標準方程得到點M坐標（-1，0），圓的半徑R=4，再由線段中垂線定理，可得出點Q的軌跡C是橢圓，從而可得出點G的軌跡C對應的橢圓的標準方程；
（II）（i）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由得，再利用點差法，即可求得直線AB的斜率；
（ii）設AB的直線方程為y=-，代入橢圓C的方程，求出|AB|及P到直線AB的距離，從而可得△MAB的面積，利用基本不等式求最值，即可證得結論．
解答：（I）解：根據題設有|QP|=|QF₂|，|F₁P|=4
∴|QF₁|+|QF₂|=|QF₁|+|QP|=|F₁P|=4
∵|F₁F₂|=2＜4    
∴根據橢圓的定義可知，Q的軌跡為以F₁（-1，0），F₂（1，0）為焦點中心在原點半長軸為2，半焦距為1，半短軸為的橢圓，其方程為
（II）（i）解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由得
1-x₁+1-x₂=λ，
∴
由 ，，
兩式相減可得+=0
直線AB的斜率為=；
（ii）證明：設AB的直線方程為y=-，代入橢圓C的方程，整理得x²-tx+t²-3=0
∴△=3（4-t²）＞0，|AB|==
∵P到直線AB的距離d=
∴△MAB的面積為S=
∴≤×=
∴S≤，當且僅當2-t=6+3t，即t=-1時取等號
∴當t=-1時，三角形的面積S取得最大值，
根據韋達定理得x₁+x₂=t=-1，∴x₁+x₂=2+λ=-1，∴λ=-3
∴，
故O是△MAB的重心．
點評：本題借助一個動點的軌跡，得到橢圓的第一定義，進而求出其軌跡方程，考查向量知識的運用，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．