Question

已知函數f(x)=ln(x+a)，g(x)=

1

6

x3+b，直線l：y=x與y=f（x）的圖象相切．（1）求實數a的值；（2）若方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且僅有兩個解x₁，x₂．①求實數b的取值范圍； ②比較x₁x₂+1與x₁+x₂的大小．

Answer 1

分析：（1）先求函數f（x）的導函數f′（x），設出切點坐標P（x₀，y₀），利用導數的幾何意義，f′（x₀）=1，且點P在切線和曲線上，列方程組即可解得a的值
（2）構造函數h（x）=g（x）-f（x），將問題轉化為函數h（x）有兩個零點x₁，x₂．求h（x）的導函數，解不等式得其單調區間和極值，①根據零點存在性定理，由極值及區間端點出函數值的正負，列不等式即可解得b的范圍，②由①可知零點的范圍，利用作差法即可比較x₁x₂+1與x₁+x₂的大小

解答：解：（1）設切點P（x₀，y₀）
∵f′(x)=

1

x+a

，y=x與y=f（x）的圖象相切
∴

1 x   0 +a =1 y   0 =ln( x   0 +a)= x   0

∴x₀=y₀=0    
∴a=1
（2）令h(x)=g(x)-f(x)=

1

6

x3-ln(x+1)+b
∵h′(x)=

1

2

x2-

1

x+1

=

(x-1)(x2+2x+2)

2(x+1)

  （x＞0）
由h'（x）＜0，得x∈（0，1），由h'（x）＞0，得x∈（1，+∞）
∴h（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
∴h（x）在x=1處取得極小值h（1）=

1

6

+b-ln2
①依題意，若方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且僅有兩個解x₁，x₂．
需：

h(1)= 1 6 +b-ln2＜0 h(0)=b＞0 x→+∞時，h(x)＞0

解得0＜b＜ln2-

1

6

②∵h（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
∴h（x）=0的根一個在（0，1）內，一個在（1，+∞）內，
不妨設0＜x₁＜1，x₂＞1
∴x₁x₂+1-（x₁+x₂）=（x₁-1）（x₂-1）＜0
∴x₁x₂+1＜x₁+x₂．

點評：本題考查了導數的幾何意義及其應用，利用導數研究函數的單調性和極值解決根的存在和根的個數問題的方法，作差法證明不等式的方法