Question

16．定義$[\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{{a}_{2}}\\{{b}_{1}}&{{b}_{2}}\end{array}]$=a₁b₂-a₂b₁，f（x）=$[\begin{array}{l}{\sqrt{3}sinxcosx+co{s}^{2}x}&{\sqrt{3}}\\{cos（\frac{3}{2}π+2x）}&{1}\end{array}]$，則f（x）（　　）

• A． 有最大值1
• B． 圖象關于直線x=-$\frac{π}{6}$對稱
• C． 在區間（-$\frac{π}{6}$，0）上單調遞增
• D． 周期為π的偶函數

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的性質，得出結論．

解答 解：f（x）=$[\begin{array}{l}{\sqrt{3}sinxcosx+co{s}^{2}x}&{\sqrt{3}}\\{cos（\frac{3}{2}π+2x）}&{1}\end{array}]$=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-$\sqrt{3}$cos（$\frac{3π}{2}$+2x）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$-$\sqrt{3}$sin2x
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=-sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
故函數的最大值為1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，故排除A；
當x=-$\frac{π}{6}$時，f（x）=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，是函數的最大值，故B正確；
在區間（-$\frac{π}{6}$，0）上，2x-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{2}$，0），f（x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$ 單調遞減，故排除C；
函數f（x）的周期為$\frac{2π}{2}$=π，且函數為非奇非偶函數，故D不正確，
故選：B．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的性質，屬于中檔題．