Question

設函數f（x）=x²-|x|-k²，下列判斷：
①存在實數k，使得函數f（x）有且僅有一個零點；
②存在實數k，使得函數f（x）有且僅有兩個零點；
③存在實數k，使得函數f（x）有且僅有三個零點；
④存在實數k，使得函數f（x）有且僅有四個零點．
其中正確的是

②③

（填相應的序號）．

Answer 1

分析：將方程x²-|x|-k²=0的問題轉化成函數y=x²-|x|與函數y=k²圖象的交點問題，畫出圖象可得．

解答：解：關于x的方程x²-|x|-k²=0，可化為x²-|x|=k²． 
分別畫出函數y=x²-|x|和y=k²的圖象，如圖所示：
由圖可知，它們的交點情況是：恰有2，或3個不同的交點．
當k=0時，函數y=x²-|x|和y=k²的圖象又3個交點，函數f（x）有且僅有三個零點．
當k≠0時，函數y=x²-|x|和y=k²的圖象又2個交點，函數f（x）有且僅有2個零點．
故答案為 ②③．

點評：本題考查了根的存在性及根的個數判斷，以及函數與方程的思想，解答關鍵是運用數形結合的思想，屬于中檔題．