Question

已知f（x）=x³+x（x∈R），?

（1）判斷f（x）在（－∞，+∞）上的單調性，并證明；?

（2）求證：滿足f（x）=a（a為常數）的實數x至多只有一個.?

Answer 1

（1）解:設x₁<x₂，即x₁－x₂<0,?

f（x₁）－f（x₂）=（x₁³+x₁）－（x₂³+x₂）=（x₁³－x₂³）+（x₁－x₂）=（x₁－x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²+1）

=（x₁－x₂）［（x₁+）²+x₂²+1］<0.?

∴f（x₁）－f（x₂）<0，即f（x₁）<f（x₂）.?

因此f（x）=x³+x在R上是增函數.?

（2）證明:假設x₁<x₂且f（x₁）=f（x₂）=a,?

由f（x）在R上遞增,∴f（x₁）<f（x₂）.?

此與f（x₁）=f（x₂）矛盾.?

∴原命題正確.?

點評:證明二次函數在給定區間上的單調性時，變形的主要手段是配方，通過配方達到判斷符號的目的.