Question

（本題20分，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題6分，第4小題4分）

         我們知道，判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線(xiàn)的距離進(jìn)行判別，那么直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系有類(lèi)似的判別方法嗎？請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面問(wèn)題。

   （1）設(shè)F₁、F₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F₁、F₂到直線(xiàn)的距離分別為d₁、d₂，試求d₁·d₂的值，并判斷直線(xiàn)L與橢圓M的位置關(guān)系。

   （2）設(shè)F₁、F₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F₁、F₂到直線(xiàn)        （m、n不同時(shí)為0）的距離分別為d₁、d₂，且直線(xiàn)L與橢圓M相切，試求d₁·d₂的值。

   （3）試寫(xiě)出一個(gè)能判斷直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的充要條件，并證明。

   （4）將（3）中得出的結(jié)論類(lèi)比到其它曲線(xiàn)，請(qǐng)同學(xué)們給出自己研究的有關(guān)結(jié)論（不必證明）。

Answer 1

（本題20分，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題6分，第4小題4分）

   （1）； ………………2分

    聯(lián)立方程； …………3分

    與橢圓M相交。 …………4分

   （2）聯(lián)立方程組

    消去

  

   （3）設(shè)F₁、F₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F₁、F₂到直線(xiàn)

的距離分別為d₁、d₂，且F₁、F₂在直線(xiàn)L的同側(cè)。那么直線(xiàn)L與橢圓相交的充要條件為：；直線(xiàn)L與橢圓M相切的充要條件為：；直線(xiàn)L與橢圓M相離的充要條件為：　……14分

    證明：由（2）得，直線(xiàn)L與橢圓M相交

   

    命題得證。

   （寫(xiě)出其他的充要條件僅得2分，未指出“F₁、F₂在直線(xiàn)L的同側(cè)”得3分）

  

（4）可以類(lèi)比到雙曲線(xiàn)：設(shè)F₁、F₂是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)F₁、F₂到直線(xiàn)距離分別為d₁、d₂，且F₁、F₂在直線(xiàn)L的同側(cè)。那么直線(xiàn)L與雙曲線(xiàn)相交的充要條件為：；直線(xiàn)L與雙曲線(xiàn)M相切的充要條件為：；直線(xiàn)L與雙曲線(xiàn)M相離的充要條件為：………………20分

   （寫(xiě)出其他的充要條件僅得2分，未指出“F₁、F₂在直線(xiàn)L的同側(cè)”得3分）

解析:

同答案