Question

已知sinθ＋sin²θ＝1，求值：

(1)cos²θ＋cos⁶θ＋cos⁸θ；(2)cos²θ＋cos⁶θ．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知sinθ＋sin2θ＝1，得sinθ＝1－sin2θ＝cos2θ， 　　∴cos2θ＋cos6θ＋cos8θ＝sinθ＋sin3θ＋sin4θ＝sinθ＋sin2θ(sinθ＋sin2θ) 　　＝sinθ＋sin2θ＝1． 　　(2)由已知sinθ＋sin2θ＝1，得sinθ＝1－sin2θ＝cos2θ， 　　∴cos2θ＋cos6θ＝sinθ＋sin3θ＝sinθ＋(1－cos2θ)sinθ 　　＝sinθ＋(1－sinθ)sinθ＝2sinθ－sin2θ＝2sinθ－(1－cos2θ) 　　＝2sinθ－(1－sinθ)＝3sinθ－1． 　　由題設(shè)條件，有sin2θ＋sinθ－1＝0． 　　解關(guān)于sinθ的一元二次方程得 　　sinθ＝． 　　∴cos2θ＋cos6θ＝3sinθ－1＝－1＝． 　　點評：由于從條件式中得出sinθ＝cos2θ，故在化簡cos2θ＋cos6θ過程中反復(fù)運用sin2θ＝1－cos2θ來進行降次，另外，求sinθ、cosθ的值時，不要忽視正、余弦的絕對值不能大于1．