Question

設函數f(x)=x+

1

x

的圖象為c₁，c₁關于點A（2，1）對稱的圖象為c₂，c₂對應的函數為g（x）．
（1）求g（x）的函數表達式；
（2）當a＞1時，解不等式logag(x)＜loga

9

2

．

Answer 1

分析：（1）在c₂對應的函數g（x）的圖象上任意取一點M（x，y），則點M關于點A（2，1）對稱點N（4-x，2-y）在函數f(x)=x+

1

x

的圖象 c₁上，化簡可得y的解析式，即g（x）的函數表達式．
（2）當a＞1時，由不等式可得0＜g（x）＜

9

2

，化簡得0＜

(x-3)2

x-4

＜

9

2

，即

x-4＞0 2(x-3)2＜9(x-4)

，由此求得不等式的解集．

解答：解：（1）在c₂對應的函數g（x）的圖象上任意取一點M（x，y），則點M關于點A（2，1）對稱點N（4-x，2-y）在函數f(x)=x+

1

x

的圖象 c₁上，
∴2-y=4-x+

1

4-x

，
∴y=x-2+

1

x-4

，即0＜g（x）=x-2+

1

x-4

．
（2）當a＞1時，不等式logag(x)＜loga

9

2

 即  g（x）＜

9

2

，即 0＜x-2+

1

x-4

＜

9

2

，
化簡得0＜

(x-3)2

x-4

＜

9

2

，即

x-4＞0 2(x-3)2＜9(x-4)

．
解得

9

2

＜x＜6，即不等式的解集為 {x|

9

2

＜x＜6 }．

點評：本題主要考查指數不等式對數不等式的解法，函數圖象的對稱問題的應用，屬于中檔題．