Question

如圖，正三棱錐A-BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上．并且

AE

EB

=

CF

FD

=λ（0＜λ＜+∞），設α為異面直線EF與AC所成的角，β為異面直線EF與BD所成的角，則α+β的值是（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  3

• C．

  π

  2

• D．與λ的值有關

Answer 1

分析：先證明正三棱錐的對棱AC與BD垂直，此結論由線面垂直得來，再由異面直線所成的角的定義，在同一平面內找到α與β，最后在三角形中發現α+β=

π

2

，從而做出正確選擇．

解答：解：如圖，取線段BC上一點H，使

CH

HB

=λ，取BD中點O，連接AO，CO
∵正三棱錐A-BCD中每個側面均為等腰三角形，底面△BCD為正三角形，∴BD⊥AO，BD⊥CO，∵AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，∵AC?平面AOC∴BD⊥AC
∵

AE

EB

=λ(λ＞0)，

CH

HB

=λ，∴EH∥AC，∵

CF

FD

=λ(λ＞0)，

CH

HB

=λ，∴HF∥BD
∴∠HEF就是異面直線EF與AC所成的角，∠HFE就是異面直線EF與BD所成的角，∴∠EHF就是異面直線BD與AC所成的角，
∴α=∠HEF，β=∠HFE，∠EHF=90°
∴α+β=

π

2

，
故選C

點評：本題考察了異面直線所成的角的作法和算法，正三棱錐的性質，解題時要認真體會將空間問題轉化為平面問題的過程