Question

已知數列是首項為，公比的等比數列.設，，數列滿足；
（Ⅰ）求證：數列成等差數列；
（Ⅱ）求數列的前項和；
（Ⅲ）若對一切正整數恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）或 .

試題分析：(Ⅰ) 本小題首先數列是首項為，公比的等比數列求得數列的通項公式，再代入即可求得數列的通項公式，然后根據等差數列的定義來判斷其為等差數列；
(Ⅱ) 本小題首先求得數列的通項公式，分析可知對其求和需用錯位相減求和的方法，于是求得該數列的前項和；
（Ⅲ）本小題首先分析對一切正整數恒成立，等價于，于是就分析數列的單調性，求得其的最大項，代入解不等式即可.
試題解析：（Ⅰ）由已知可得，，


為等差數列，其中.                       5分
（Ⅱ）
      ①         
 ②
-②得



                               9分
（Ⅲ）


當時，，當時，
，
若對一切正整數恒成立，則即可
，即或.                   14分