Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b是不同時為零的常數），其導函數為f'（x）．
（1）當a=

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3

時，若不等式f′(x)＞-

1

3

對任意x∈R恒成立，求b的取值范圍；
（2）求證：函數y=f'（x）在（-1，0）內至少存在一個零點．

Answer 1

分析：（1）把a=

1

3

代入求導后轉化為二次不等式恒成立的問題，根據二次不等式對應的二次函數開口方向及二次方程的判別式聯立解決；
（2）說明函數y=f'（x）在（-1，0）內至少存在一個零點，只要在區間[-1，0]內找到兩個值，使f^′（-1）•f^′（0）＜0即可．

解答：解：（1）當a=

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時，f（x）=

1

3

x3+bx2+(b-

1

3

)x，
f′(x)=x2+2bx+b-

1

3

，
要使對任意x∈Rf′(x)＞-

1

3

恒成立，即x2+2bx+b-

1

3

＞-

1

3

恒成立，
也就是x²+2bx+b＞0恒成立，則△=（2b）²-4b＜0，解得：0＜b＜1．
所以不等式f′(x)＞-

1

3

對任意x∈R恒成立的b的取值范圍是（0，1）；
（2）令g（x）=f′（x）=3ax²+2bx+b-a，
g（-1）=3a×（-1）²+2b×（-1）+b-a=2a-b，
g（0）=b-a
g（-

1

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）=3×a×(-

1

3

)2+2b×(-

1

3

)+b-a=

b-2a

3

，
所以g(-1)•g(-

1

3

)=-

(b-2a)2

3

≤0，
上式等號成立時說明g(-

1

3

)=0，也滿足至少有一個零點-

1

3

．
所以函數y=f'（x）在（-1，0）內至少存在一個零點．

點評：本題主要考查利用導數法研究函數的單調性，函數的圖象和性質以及方程的根轉化為函數圖象的交點解決等問題．