Question

已知△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4．
（I）一只螞蟻在BC邊上爬行，求螞蟻到頂點B的距離小于1的概率．
（Ⅱ）若螞蟻在三角形內部爬行，求螞蟻到三角形三個頂點的距離均大于1的概率．

Answer 1

分析：（I）本題考查的知識點是幾何概型的意義，關鍵是要找出螞蟻距離三角形的頂點B的距離均超過1時對應線段的長度，并將它同BC長一齊代入幾何概型的計算公式，進行求解．
（II）先畫示意圖，在△ABC中利用三角形面積求得三角形的面積，再求出圖中陰影部分的面積，最后利用幾何概型即可救是本題中螞蟻恰在離三個頂點距離都大于1的地方的概率．

解答：解：（Ⅰ）記A=“螞蟻到頂點B的距離小于1”，Ω=“螞蟻在BC邊上爬行”，
根據幾何概型計算公式 P(A)=

1

3

，
∴螞蟻到頂點B的距離小于1的概率是

1

3

…（2分）
（Ⅱ）畫示意圖，如圖．
試驗的全部結果為一個ABC區域．S_Ω=6，
圖中非陰影部分的面積為三角形ABC的面積減去半徑為1的半圓的面積即S_M=6-

π

4

-

π

4

=6-

π

2

，
根據幾何概型計算公式P(M)=

SM

SΩ

=

6- π 2

6

=1-

π

12

∴螞蟻到三角形三個頂點的距離均大于1的概率為1-

π

12

…（4分）

點評：幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關，而與形狀和位置無關．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對應的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對應的“幾何度量”N，最后根據P=N（A）/A求解．