Question

已知f（x）是二次函數，滿足f（x+1）+f（2x-1）=-5x²-x，求函數f（x）的解析式、值域，并寫出函數的單調遞減區間．

Answer 1

分析：先利用待定系數法求出函數的解析式，再判斷函數的單調性，最后求出最值．

解答：解：根據題意設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
所以f（x+1）+f（2x-1）=5ax²+（3b-2a）x+2（a+c）=-5x²-x，
∴

5a=-5 3b-2a=-1 2(a+c)=0

，解得

a=-1 b=-1 c=1

，
∴f（x）=-x²-x+1，
所以函數圖象開口向下，最大值在x=-

1

2

處取得，為

5

4

，故值域為(-∞，

5

4

]，
單調遞減區間為[-

1

2

，+∞)．

點評：本題考察待定系數法求函數的解析式，以及二次函數的單調性和值域，屬基礎題．