Question

設0≤x≤2，若函數y=4x-

1

2

-a•2x+

a2

2

+1的最小值為

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：利用指數函數的性質，將y=4x-

1

2

-a•2^x+

a2

2

+1配方得：y=

1

2

（2^x-a）²+1，x∈[0，2]⇒2^x∈[1，4]，對a分a＜1，1≤a≤4與a＞4討論，依題意，利用二次函數的單調性即可求得a的值．

解答：解：∵y=4x-

1

2

-a•2^x+

a2

2

+1
=

1

2

•（2^x）²-a•2^x+

a2

2

+1
=

1

2

（2^x-a）²+1
∵x∈[0，2]，
∴2^x∈[1，4]，
∴當a＜1時，y_min=

1

2

（1-a）²+1=

3

2

，
解得a=0或a=2（舍）；
當1≤a≤4時，y最小值為1，不符合題意；
當a＞4由y_min=

1

2

（4-a）²+1=

3

2

，
解得a=5或a=3（舍）；
綜上：a=0或a=5．

點評：本題考查復合函數的單調性，著重考查轉化思想與分類討論思想的綜合運用，考查運算能力，屬于中檔題．