Question

統計表明某型號汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升）關于行駛速度x（千米/小時）的函數為y=

1

128000

x3-

3

80

x+8(0＜x＜120)．
（1）當x=64千米/小時時，要行駛100千米耗油量多少升？
（2）若油箱有22.5升油，則該型號汽車最多行駛多少千米？

Answer 1

分析：（1）當x=64千米/小時時，要行駛100千米需要

100

64

=

25

16

小時．即可得出耗油（(

1

128000

×643-

3

80

×64+8)×

25

16

（升）．
（2）設22.5升油該型號汽車可行駛a千米，可得(

1

128000

x3-

3

80

•x+8)×

a

x

=22.5，于是a=

22.5

1 128000 •x2+ 8 x - 3 80

，利用導數研究分母的單調性，求出最小值即可．

解答：解：（1）當x=64千米/小時時，要行駛100千米需要

100

64

=

25

16

小時
需要耗油（(

1

128000

×643-

3

80

×64+8)×

25

16

=11.95（升）
（2）設22.5升油該型號汽車可行駛a千米，由題意得(

1

128000

x3-

3

80

•x+8)×

a

x

=22.5
∴a=

22.5

1 128000 •x2+ 8 x - 3 80

設h(x)=

1

128000

x2+

8

x

-

3

80

則當h（x）最小時，a取最大值，
由h′(x)=

1

64000

x2-

8

x2

=

x3-803

64000x2

，
令h'（x）=0⇒x=80當x∈（0，80）時，h'（x）＜0，當x∈（80，120）時，h'（x）＞0．
故當x∈（0，80）時，函數h（x）為減函數，當x∈（80，120）時，函數h（x）為增函數．
∴當x=80時，h（x）取得最小值，此時a取最大值為a=

22.5

1 128000 ×802+ 8 80 - 3 80

=200．
答：若油箱有22.5升油，則該型號汽車最多行駛200千米．

點評：本題綜合考查了函數模型的應用、時間速度與路程的關系、利用導數研究函數的單調性極值與最值等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．