Question

如圖，在直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA₁=3．
（I）證明：AC⊥B₁D；
（II）求直線B₁C₁與平面ACD₁所成的角的正弦值．

Answer 1

（I）∵BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥BB₁，


又∵AC⊥BD，BB₁、BD是平面BB₁D內的相交直線
∴AC⊥平面BB₁D，
∵B₁D?平面BB₁D，∴AC⊥B₁D；
（II）∵AD∥BC，B₁C₁∥BC，∴AD∥B₁C₁，
由此可得直線B₁C₁與平面ACD₁所成的角，等于直線AD與平面ACD₁所成的角（記為θ）
連接A₁D，
∵直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=∠B₁A₁D₁=90°，
∴B₁A₁⊥平面A₁D₁DA，結合AD₁?平面A₁D₁DA，得B₁A₁⊥AD₁
又∵AD=AA₁=3，∴四邊形A₁D₁DA是正方形，可得AD₁⊥A₁D
∵B₁A₁、A₁D是平面A₁B₁D內的相交直線，∴AD₁⊥平面A₁B₁D，可得AD₁⊥B₁D，
由（I）知AC⊥B₁D，結合AD₁∩AC=A可得B₁D⊥平面ACD，從而得到∠ADB₁=90°-θ，
∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，從而得到Rt△ABC∽Rt△DAB
因此，

AB

DA

=

BC

AB

，可得AB=

BC•DA

=

3

連接AB₁，可得△AB₁D是直角三角形，
∴B₁D²=B₁B²+BD²=B₁B²+AB²+BD²=21，B₁D=

21

在Rt△AB₁D中，cos∠ADB₁=

AD

B1D

=

3

21

=

21

7

，
即cos（90°-θ）=sinθ=

21

7

，可得直線B₁C₁與平面ACD₁所成的角的正弦值為

21

7

．