Question

如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥ 平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，BD=1，O為BC的中點．
（1）求證：AO∥平面DEF；
（2）求證：平面DEF⊥平面BCED；
（3）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值．

Answer 1

證明：（1）取DE中點G，以BC中點O為原點，OC、OA分別為x、y軸，建系如圖空間坐標系，則可得
A（0，，0）、B（﹣1，0，0）、C（1，0，0）、D（﹣1，0，1）、
E（1，0，3）、F（0，，2）、G（0，0，2），
∴=（2，0，2），=（1，，1）．
設平面DEF的一法向量=（x，y，z），則
即，
取x=1，則y=0，z=﹣1，
可得=（1，0，﹣1），
∵=（0，，0），=0，
∴⊥．又OA平面DEF，
∴OA∥平面DEF．
（2）因為直線AO是平面BCDE的一條垂線，
∴平面BCED的一法向量為=（0，，0），
∵=0，平面BCED的法向量與平面DEF的法向量互相垂直
∴平面DEF⊥平面BCED
（3）由（1）知平面DEF的一個法向量=（1，0，﹣1），
平面ABC即xOy坐標平面，可得它的一個法向量=（0，0，1），
∵=﹣1，=，=1
∴cos＜，＞==﹣
∴求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值為|cos＜，＞|=．