Question

【題目】若函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點，則實數(shù)的取值范圍為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

函數(shù)存在唯一的零點等價于函數(shù)與函數(shù)的圖像只有一個交點．∵，，∴函數(shù)與函數(shù)的圖像的唯一交點為．對求導，可得的單調性及斜率范圍，又是最小正周期為2．最大值為的正弦型函數(shù)，畫出草圖，比較與在x=1處斜率即可.

函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點等價于函數(shù)與函數(shù)的圖像只有一個交點．

∵，，

∴函數(shù)與函數(shù)的圖像的唯一交點為．

又∵，且，，

∴在上恒小于零，即在上為單調遞減函數(shù)．

又∵，當且僅當，即時等號成立，且是最小正周期為2．最大值為的正弦型函數(shù)，

∴可得函數(shù)與函數(shù)的大致圖像如圖所示．

∴要使函數(shù)與函數(shù)的圖像只有唯一一個交點，則．

∵，，

∴，解得．

對∵，∴實數(shù)的取值范圍為．

故答案為：.