Question

4．點(diǎn)P（-3，1）在橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左準(zhǔn)線上．過點(diǎn)P的直線l：5x+2y=13，經(jīng)直線y=-2反射后通過橢圓的左焦點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由點(diǎn)P（-3，1）則橢圓的左準(zhǔn)線x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$上，即$\frac{{a}^{2}}{c}$=3，由題意可知：過點(diǎn)P且與直線5x+2y=0平行的光線的方程為5x+2y+13=0上，將焦點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得c和a的值，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的左準(zhǔn)線方程為：x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$，點(diǎn)P（-3，1）在橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左準(zhǔn)線上．
∴$\frac{{a}^{2}}{c}$=3，
∵點(diǎn)P且與直線5x+2y=13平行的光線經(jīng)直線y=-2反射后通過橢圓左焦點(diǎn)，
過點(diǎn)P且與直線5x+2y=0平行的光線的方程為5x+2y+13=0上，
∴5×（-c）+2×（-4）+12=0，解得：c=1，
∴a²=3，解得：a=$\sqrt{3}$，
故橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．