Question

已知橢圓的離心率為，，為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且的周長為。

（Ⅰ）求橢圓的方程

（Ⅱ）設直線與橢圓相交于、兩點，若（為坐標原點），求證：直線與圓相切.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）借助題中的已知條件以及、、三者之間的相互關系確定、、的值，從而確定橢圓的方程；（Ⅱ）對直線的斜率存在與不存在這兩種情況進行討論，即根據這個條件確定直線傾斜角為時，直線的方程，以及根據這個條件在斜率存在時方程中、之間的等量關系，并借助圓心（原點）到直線的距離等于圓的半徑確定直線與圓相切.

試題解析：解（Ⅰ）由已知得，且

解得，又

所以橢圓的方程為            4分

（Ⅱ）證明：有題意可知，直線不過坐標原點，設的坐標分別為

（ⅰ）當直線軸時，直線的方程為且

則

     

，解得

故直線的方程為

因此，點到直線的距離為

又圓的圓心為，半徑

所以直線與圓相切                     9分

（ⅱ）當直線不垂直于軸時，設直線的方程為

由 得

  

故

即        ①

又圓的圓心為，半徑

圓心到直線的距離為

     ②

將①式帶入②式得

所以

因此，直線與圓相切                   14分

考點：橢圓、韋達定理、點到直線的距離