Question

如圖，空間直角坐標系O-xyz中，已知A（1，0，0），B（0，2，0），現將△AOB按向量

p

=(0， -1， 

3

)平移到△A'O'B'．
（Ⅰ）寫出三點A'、O'、B'的坐標；
（Ⅱ）求證：AB'⊥BO'；
（Ⅲ）求二面角A-BB'-O的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先分別寫出

OA′

，

OB′

，

OO/

的坐標，即可得到點A'、O'、B'的坐標；
（Ⅱ） 要證AB'⊥BO'；只需證明對應的數量積為0即可；
（Ⅲ） 先求平面的法向量，再利用向量的數量積公式求面面角．

解答：解：（Ⅰ）

OA′

=

OA

+

AA′

=

OA

+

p

=（1，0，0）+（0，-1，

3

)=(1，-1，

3

)，
同理

OB′

=(0，2，0）+（0，-1，

3

)=（0，1，

3

)，又

OO′

=

p

=(0，-1，

3

)，
所以A'（1，-1，

3

)，O'（0，-1，

3

)，B'（0，1，

3

)；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）

AB′

=(0，1，

3

)-(1，0，0）=（-1，1，

3

)，

BO′

=(0，-1，

3

)-(0，2，0）=（0，-3，

3

)，
而

AB′

•

BO′

=(-1)×0+1×(-3)+

3

×

3

=0，所以

AB′

⊥

BO′

，即AB'⊥BO'；
（Ⅲ）設平面ABB'的法向量為

m

=(x，y，z），則

m

⊥

BB′

且

m

⊥

AB′

，
所以

m

•

BB′

=0且

m

•

AB′

=0，即

-y+ 3 z=0 -x+y+ 3 z=0

，取z=1，得x=2

3

，y=

3

，
所以

m

=(2

3

，

3

，1）．又平面OBB'的一個法向量是

n

=(1，0，0），cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2 3

(2 3 )2+( 3 )2+1

=

3

2

，
所以＜

m

，

n

＞=30°，從而二面角A-BB'-O的大小為30°．

點評：本題的考點是用空間向量求平面角的夾角，主要考查空間向量的運用，考查向量的數量積公式，屬于中檔題．