Question

要測量河對岸兩地A，B之間的距離，在岸邊選取相距100米的C，D兩點，并測得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A，B，C，D在同一平面內），求A，B之間的距離．

Answer 1

解：如圖所示，在△ACD中，∠CAD=30°=∠ADC，
∴AC=CD=100．
∵在△BCD中，∠CBD=60°，
∴由正弦定理，得=，可得BC=100•=200sin75°．
在△ABC中，由余弦定理，得
AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB=（100）²+（200sin75°）²-2×100×200sin75°cos75°
=5×100²，
∴AB=100（米），即A，B之間的距離為100米．
分析：首先在△ACD中，得出∠CAD=∠ADC=30°，得CD=100．然后在△BCD中由正弦定理得出BC的長，最后在△ABC中由余弦定理，算出AB²═5×100²，即可得到A，B之間的距離為100米．
點評：本題給出實際問題，求河對岸兩點A、B間的距離，著重考查了利用正余弦定理解三角形及其實際應用等知識，屬于中檔題．