Question

已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物．血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病．下面是兩種化驗方案：
方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止．
方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗．若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗．
求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率．

Answer 1

解：（解法一）：主要依乙所驗的次數分類：
若乙驗兩次時，有兩種可能：
①先驗三只結果為陽性，再從中逐個驗時，恰好一次驗中概率為：
（也可以用）
②先驗三只結果為陰性，再從其它兩只中驗出陽性（無論第二次驗中沒有，均可以在第二次結束）
（）
∴乙只用兩次的概率為．
若乙驗三次時，只有一種可能：
先驗三只結果為陽性，再從中逐個驗時，恰好二次驗中概率為：∴在三次驗出時概率為
∴甲種方案的次數不少于乙種次數的概率為：

（解法二）：設A為甲的次數不多于乙的次數，則表示甲的次數小于乙的次數，
則只有兩種情況，甲進行的一次即驗出了和甲進行了兩次，乙進行了3次．
則設A₁，A₂分別表示甲在第一次、二次驗出，并設乙在三次驗出為B

∴
∴
分析：（解法一）主要依乙所驗的次數分類，并求出每種情況下被驗中的概率，再求甲種方案的次數不少于乙種次數的概率；
（解法二）先求所求事件的對立事件即甲的次數小于乙的次數，再求出它包含的兩個事件“甲進行的一次即驗出了和甲進行了兩次，乙進行了3次”的概率，再代入對立事件的概率公式求解．
點評：本題考查了用計數原理來求事件的概率，并且所求的事件遇過于復雜的，要主動去分析和應用對立事件來處理．