Question

有一高二升高三的學生盼望進入某名牌大學學習，假設該名牌大學由以下每種方式都可錄取：①2010年2月國家數學奧賽集訓隊考試通過（集訓隊從2009年10月省數學競賽一等獎中選拔）；②2010年3月自主招生考試通過并且2010年6月高考分數達重點線；③2010年6月高考達到該校錄取分數線（該校錄取分數線高于重點線）．該考生具有參加省數學競賽、自主招生和高考的資料且估計自己通過各種考試的概率如下表：

省數學競賽獲一等獎	自主招生通過	高考達重點線	高考達該校分數線
0.5	0.7	0.8	0.6

如果數學競賽獲省一等獎，該學生估計自己進入國際集訓隊的概率是0.4．若進入國家集訓隊，則提前錄取，若未被錄取，則再按②，③順序依次錄取；前面已經被錄取后，不得參加后面的考試或錄取．
（1）求該考生參加自主招生考試的概率；
（2）求該學生參加考試的次數ξ的分布列及數學期望；
（3）求該學生被該校錄取的概率．

Answer 1

分析：（1）設該生參加省數學競賽獲一等獎、參加國家集訓隊時間分別為A、B則P₁=P（

.

A

）+P（A

.

B

），然后利用互斥事件的概率公式進行求解；
（2）ξ=2，3，4，然后分別求出相應的概率，列出分布列，根據數學期望公式進行求解即可；
（3）設自主招生通過并且高考達重點線錄取、自主招生未通過且高考達該校線錄取的事件分別為C、D，該學生被該校錄取的事件分為三種事件，AB、C、D，分別求出對應的概率，最后相加即可．

解答：解：（1）設該生參加省數學競賽獲一等獎、參加國家集訓隊時間分別為A、B
則P₁=P（

.

A

）+P（A

.

B

）=0.5+0.5×0.6=0.8
該考生參加自主招生考試的概率為0.8
（2）參加考試有下面幾種情形，參加兩次考試奧賽和進集訓隊；參加三次考試指前兩次和高考；參加四次考試是指參加兩次考試奧賽和進集訓隊和自主和高考．
ξ=2，3，4，
P（ξ=2）=0.5×0.4=0.2；
P（ξ=3）=0.5；
P（ξ=4）=0.5×0.6=0.3

ξ	2	3	4
P	0.2	0.5	0.3

Eξ=2×0.2+3×0.5+4×0.3=3.1
（3）設自主招生通過并且高考達重點線錄取、自主招生未通過且高考達該校線錄取的事件分別為C、D
（i）P（AB）=0.2
（ii）P（C）=0.8×0.7×0.8=0.448，
（iii）P（D）=0.8×0.3×0.6=0.144
∴該學生被該校錄取的概率為：
P₂=P（AB）+P（C）+P（D）=0.792

點評：本題關鍵是理解題意，題干比較長，給我們解題制造了困難，但本題的題意和同學們又很接近，這是同學們比較感興趣的問題，考查運用概率知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．