Question

（本小題共12分）已知函數，其中．

（I）若函數有三個不同零點，求的取值范圍；

（II）若函數在區間上不是單調函數，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

解: （I）因為，所以函數有三個不同零點的充要條件是關于的方程有兩個不相等的非零實根，…………1分

即，且.

故的取值范圍是…………5分

（II）解法一：，函數在區間上不是單調函數的充要條件是關于的方程有兩個不相等的實數根，且至少有一個實數根在區間內. …………7分

（2）若，則.

方程的兩個實根均不在區間內，所以…………8分

（3）若，則.

方程在區間內有實根，所以可以為…………9分

（4）若方程有一個實根在區間內，另一個實根在區間外，

則，即…………10分

（5）若方程在區間內有兩個不相等的實根，則

………11分

綜合①②③④得的取值范圍是…………12分

（II）解法二：，

函數在區間上不是單調函數的充要條件是關于的方程

在區間上有實根且…………7分

關于的方程在區間上有實根的充要條件是

使得…………8分

使得

令有，記

…………10分

則函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以有

即.…………11分

又由 得且

故的取值范圍是…………12分

（II）解法三：記函數在區間上的最大值為，

最小值為

函數f(x)在區間上不單調函數f(x)在區間上不單調

…………7分

因為函數的圖像是開口向上、對稱軸為的拋物線，

所以，

…………9分

當時，，

……11分

     故的取值范圍是……12分

【解析】略