Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，M、N分別為AA₁、BB₁的中點(diǎn)，求CM與D₁N所成角的余弦值

1

9

．

Answer 1

分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，再寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到異面直線方向向量的坐標(biāo)，利用向量夾角公式計算所得向量夾角的余弦值，最后得異面直線所成角的余弦值，注意異面直線所成的角范圍為（0，

π

2

]，故面直線所成角的余弦值應(yīng)為向量夾角的余弦值的絕對值．

解答：解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），C（2，2，0），M（0，0，1），N（2，0，1），D₁（0，2，2）
∴

CM

=（-2，-2，1），

D1N

=（2，-2，-1）
∴cos＜

CM

，

D1N

＞=

CM • D1N

| CM ||  D1N |

=

-1

3×3

=-

1

9

∵異面直線所成的角范圍為（0，

π

2

]
∴CM與D₁N所成角的余弦值為

1

9

故答案為

1

9

點(diǎn)評：本題考察了異面直線所成的角的求法，利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量解決空間角的計算問題，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的思想方法