Question

給出下列四個命題：
①f（x）=sin（2x-

π

4

）的對稱軸為x=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z；
②函數f（x）=sinx+

3

cosx的最大值為2；
③函數f（x）=sinx•cosx-1的周期為2π；
④函數f（x）=sin（2x+

π

4

）在[0，

π

2

]上的值域為[-

2

2

，

2

2

]．
其中正確命題的是

①②

．

Answer 1

分析：①f（x）=sin（2x-

π

4

）的對稱軸滿足2x-

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，由上能判斷①的真假；
②函數f（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

），由此能判斷②的真假；
③函數f（x）=sinx•cosx-1=

1

2

sin2x-1，由此能判斷③的真假；
④函數f（x）=sin（2x+

π

4

）在[0，

π

2

]上的值域為[-

2

2

，1]，由此能判斷④的真假．

解答：解：①f（x）=sin（2x-

π

4

）的對稱軸滿足2x-

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，
解得x=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z，故①是真命題；
②∵函數f（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

）∈[-2，2]，
∴函數f（x）=sinx+

3

cosx的最大值為2，故②是真命題；
③∵函數f（x）=sinx•cosx-1=

1

2

sin2x-1，
∴函數f（x）=sinx•cosx-1的周期為π，故③是假命題；
④∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴函數f（x）=sin（2x+

π

4

）在[0，

π

2

]上的值域為[-

2

2

，1]，
故④是假命題．
故答案為：①②．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，是基礎題．解題時要認真審題，注意三角函數的性質的合理運用．