Question

（2010•臺州一模）已知函數f（x）=x²-4x+3，若實數x，y滿足條件f（y）≤f（x）≤0，則

y

x

的取值范圍為

[

1

3

，3]

．

Answer 1

分析：根據函數表達式將f（y）≤f（x）≤0化簡整理，得

1≤x≤3 (x-y)(x+y-4)≥0

，由此作出不等式組表示的平面區域如圖．運動區域內動點P并觀察直線OP的斜率，即可得到

y

x

的最大、最小值，從而得到

y

x

取值范圍．

解答：解：∵f（x）=x²-4x+3，
∴不等式f（y）≤f（x）≤0，即y²-4y+3≤x²-4x+3≤0
化簡整理，得

1≤x≤3 (x-y)(x+y-4)≥0

，作出不等式組表示的平面區域，得到如圖的陰影部分
即△ABC與△ADE，及其它們的內部
其中A（2，2），B（3，1），C（1，1），D（3，3），E（3，1）
∵k=

y

x

表示區域內的動點P（x，y）與原點連線的斜率
∴運動點P并加以觀察，得
當P與E（3，1）重合時，

y

x

達到最小值

1

3

；當P與B（1，3）重合時，

y

x

達到最大值3
因此，

y

x

的取值范圍是[

1

3

，3]
故答案為：[

1

3

，3]

點評：本題給出二元一次不等式組，求目標函數

y

x

的取值范圍，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域和直線的斜率等知識，屬于基礎題．