Question

求證：x＞1時，2x³＞x²+1．

Answer 1

【答案】分析：構造函數f（x）=2x³-x²-1，則f′（x）=6x²-2x=2x（3x-1）．由導數判斷函數在（1，+∞）上的單調遞增，從而有f（x）＞f（1）=0，即證
解答：證明：令f（x）=2x³-x²-1，則f′（x）=6x²-2x=2x（3x-1）．
當x＞1時，f′（x）＞0恒成立．
∴f（x）在（1，+∞）上單調遞增．
又∵f（1）=0，
∴f（x）在（1，+∞）上恒大于零，即當x＞1時，2x³＞x²+1．
點評：本題考查了利用導數法判斷單調性，轉化證明不等式，解題的關鍵是構造函數，體現了數學中的轉化思想及構造函數的方法．