Question

已知命題：
①已知正項等比數列{a_n}中，不等式a_n+1+a_n-1≥2a_n（n≥2，n∈N^*）一定成立；
②若F（n）=（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）（n∈N^*），則F（1）=2，F（2）=24；
③已知數列{a_n}中，a_n=n²+λn+1（λ∈R）．若λ＞-3，則恒有a_n+1＞a_n（n∈N^*）；
④公差小于零的等差數列{a_n}的前n項和為S_n．若S₂₀=S₄₀，則S₃₀為數列{S_n}的最大項；以上四個命題正確的是

①③④

（填入相應序號）

Answer 1

分析：由正項等比數列{a_n}中，a_n+1，a_n，a_n-1（n≥2，n∈N^*）成等差數列，知a_n+1+a_n-1=2a_n（n≥2，n∈N^*）；由F（n）=（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）（n∈N^*），知F（1）=1+1=2，F（2）=（2+1）（2+2）=12≠24；由λ＞-3知a_n+1-a_n=[（n+1）²+λ（n+1）+1]-（n²+λn+1）=2n+1+λ＞0；由公差小于零的等差數列{a_n}的前n項和為S_n．S₂₀=S₄₀，知20a1+

20×19

2

d=40a1+

40×39

2

d，a1=-

59

2

d，所以Sn=-

59d

2

n+

n(n-1)

2

d=

d

2

(n-30)2-450d，由d＜0，知S₃₀為數列{S_n}的最大項．

解答：解：∵正項等比數列{a_n}中，a_n+1，a_n，a_n-1（n≥2，n∈N^*）成等差數列，
∴a_n+1+a_n-1=2a_n（n≥2，n∈N^*），
∴不等式a_n+1+a_n-1≥2a_n（n≥2，n∈N^*）一定成立．
故①正確；
∵F（n）=（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）（n∈N^*），
∴F（1）=1+1=2，
F（2）=（2+1）（2+2）=12≠24，
故②不正確；
∵λ＞-3
∴a_n+1-a_n=[（n+1）²+λ（n+1）+1]-（n²+λn+1）=2n+1+λ＞0，
∴若λ＞-3，則恒有a_n+1＞a_n（n∈N^*），
故③正確；
公差小于零的等差數列{a_n}的前n項和為S_n．
若S₂₀=S₄₀，
則20a1+

20×19

2

d=40a1+

40×39

2

d，
∴a1=-

59

2

d，
Sn=-

59d

2

n+

n(n-1)

2

d
=

d

2

n2-30d
=

d

2

(n-30)2-450d，
∵d＜0，
∴S₃₀為數列{S_n}的最大項．
故④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查數列的性質的應用，是基礎題．解題時要認真審題，熟練掌握等差數列和等比數列的性質．