Question

過點M（2，-2p）作拋物線x²=2py（p＞0）的兩條切線，切點分別為A、B，若線段AB中點的縱坐標為6，則拋物線的方程為

x²=2y或x²=4y

．

Answer 1

分析：設過點M的拋物線的切線方程與拋物線的方程聯立，利用方程的判別式等于0，再利用韋達定理，結合線段AB中點的縱坐標為6，可求拋物線的方程．

解答：解：設過點M的拋物線的切線方程為：y+2p=k（x-2）與拋物線的方程聯立消y得：x²-2pkx+4pk+4p²=0
此方程的判別式等于0，∴pk²-4k-4p²=0
設切線的斜率分別為k₁，k₂，則k₁+k₂=

4

p

此時x=pk，∴y=

x2

2p

=

pk2

2

=2(k+p)
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則12=y₁+y₂=2（k₁+k₂）+4p=

8

p

+4p
∴p²-3p+2=0
∴p=1或p=2
∴所求拋物線的方程為x²=2y或x²=4y
故答案為：x²=2y或x²=4y．

點評：本題考查拋物線的切線，考查韋達定理的運用，考查中點坐標公式，屬于中檔題．