Question

已知函數(shù)  ．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)的圖像在點處的切線的斜率為，問： 在什么范圍取值時，對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值？

（Ⅲ）當時，設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上至少存在一個，使得成立，試求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ι）由知：

當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；

當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；………………4分

（Ⅱ）由得

∴，.             ………………………5分

∴,

∵ 函數(shù)在區(qū)間上總存在極值，

∴有兩個不等實根且至少有一個在區(qū)間內(nèi)…………6分

又∵函數(shù)是開口向上的二次函數(shù)，且，∴                                          …………7分

由，∵在上單調(diào)遞減，

所以；∴，由，解得；

綜上得： 所以當在內(nèi)取值時，對于任意，函數(shù)，在區(qū)間上總存在極值 。                                                …………8分

（Ⅲ）令，則

.

1.  當時，由得，從而,

所以，在上不存在使得；…………………10分

2.  當時，,

在上恒成立，故在上單調(diào)遞增。

故只要，解得     

 綜上所述，的取值范圍是…………………12分

【解析】略