Question

已知函數f（x）=ax³+x²-ax，a，x∈R
（1）討論函數g(x)=

f(x)

x

-lnx的單調區間；
（2）如果存在a∈[-2，-1]，使函數h（x）=f（x）+f′（x），x∈[-1，b]（b＞-1）在x=-1處取得最小值，試求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）=ax³+x²-ax，對其進行求導，討論a的值，討論其單調性，從而求解；
（2）存在a∈[-2，-1]，使函數h（x）=f（x）+f′（x），x∈[-1，b]（b＞-1）在x=-1處取得最小值，將問題轉化為h（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a≥h（-1）在區間[-1，b]上恒成立，再利用常數分離法進行求出b的范圍；

解答：解：（1）∵g（x）=ax²+x-a-lnx，
∴g′（x）=2ax+1-

1

x

=

2ax2+x-1

x

（x＞0）
∴當a≤-

1

8

時，g（x）在（0，+∞）上單調遞減；
當-

1

8

＜a＜0時，g（x）在（0，

-1+ 1+8a

4a

），（

-1- 1+8a

4a

，+∞）上單調遞減，
在（

-1- 1+8a

4a

，

-1+ 1+8a

4a

）單調遞減；
當a=0時，g（x）在（0，1）上單調遞減，（1，+∞）上單調遞減；
當a＞0時，g（x）在（0，

-1+ 1+8a

4a

）上單調遞減，（

-1+ 1+8a

4a

，+∞）上單調遞增．
（2）依題意有h（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a≥h（-1）在區間[-1，b]上恒成立，
（x+1）[ax2+（2a+1）x+（1-3a）]≥0，
當x=-1時，顯然成立，當-1＜x≤-b時，
可化為ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0，
令φ（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），
由于二次函數φ（x）是開口向下的拋物線，故它在閉區間上的最小值必在區間端點處
處取得，又φ（-1）=-4a＞0，所以只需φ（b）≥0，
即ab²+（2a+1）b+（1-3a）≥0，即

b2+2b-3

b+1

≤-

1

a

，
因為關于a的不等式在區間（-∞，-1]上有解，
所以

b2+2b-3

b+1

≤(-

1

a

)max=1，即b²+b-4≤0，又b＞-1，
所以-1＜b≤

-1+ 17

2

，從而b的最大值為

-1+ 17

2

；

點評：此題主要考查利用導數研究函數的單調性，解題的過程中用到了轉化的思想和常數分離法等高考常用的方法，是一道中檔題；