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已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切,過點P(4,0)且不垂直于x軸直線與橢圓C相交于A、B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求的取值范圍;
(3)若B點關于x軸的對稱點是E,證明:直線AE與x軸相交于定點.
(1);(2);(3)證明過程詳見解析.

試題分析:本題考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程等基礎知識,考查用代數方法研究圓錐曲線的性質以及數形結合的數學思想方法,考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問,利用離心率及解出得到橢圓的標準方程;第二問,先設出直線的方程,因為直線與橢圓相交,消參得關于的方程,因為相交于2個交點,所以得到的取值范圍,設出點坐標,則求出兩根之和、兩根之積及,所以,將上述的條件代入,得到的表達式,求最值;第三問,先通過對稱,得到點的坐標,列出直線的方程,令,得的值正好得1,所以得證.
試題解析:(1)解:由題意知,∴,即
,∴
故橢圓的方程為 .    2分
(2)解:由題意知直線的斜率存在,設直線的方程為
得:,      4分
得:
設A(x1,y1),B (x2,y2),則  ①


,∴,∴
的取值范圍是.
(3)∵兩點關于軸對稱,∴
直線的方程為,令得:
,∴
由將①代入得:,∴直線軸交于定點.
練習冊系列答案
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已知點,動點G滿足
(Ⅰ)求動點G的軌跡的方程;
(Ⅱ)已知過點且與軸不垂直的直線l交(Ⅰ)中的軌跡于P,Q兩點.在線段上是否存在點,使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求實數m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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為橢圓上任意一點,為左右焦點.如圖所示:

(1)若的中點為,求證
(2)若,求的值.

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在直角坐標系中,已知中心在原點,離心率為的橢圓E的一個焦點為圓的圓心.
⑴求橢圓E的方程;
⑵設P是橢圓E上一點,過P作兩條斜率之積為的直線,當直線都與圓相切時,求P點坐標.

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在平面直角坐標系xOy中,點B與點A(-1,1)關于原點O對稱,P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于.
(1)求動點P的軌跡方程;
(2)設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N,問:是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由.

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已知曲線,求曲線過點的切線方程。

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已知橢圓的中心為原點,長軸長為,一條準線的方程為.
(Ⅰ)求該橢圓的標準方程;
(Ⅱ)射線與橢圓的交點為,過作傾斜角互補的兩條直線,分別與橢圓交于 兩點(兩點異于).求證:直線的斜率為定值.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

已知橢圓E:,橢圓E的內接平行四邊形的一組對邊分別經過它的兩個焦點(如圖),則這個平行四邊形面積的最大值是   

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

已知兩定點,如果動點滿足,則點的軌跡所包圍的圖形的面積等于(  )
A.B.C.D.

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